Ch 01. Probability Theory

확률

소개

통계학과 함께 확률 이론은 불확실성을 다루기 위해 개발된 수학의 한 분야임

오늘날 확률 이론은 수학의 가장 유용한 영역 중 하나로 인정받고 있음

확률 이론은 실험 및 데이터 분석을 통한 통계적 추론의 과학적 기반을 제공함

응용 사례: 시스템의 신뢰도 평가, 측정 정확도의 해석, 적절한 품질 통제 유지 등

표본 공간

실험

둘 이상의 결과가 가능한 모든 과정이나 절차

표본 공간

실험의 표본 공간 는 가능한 모든 실험 결과를 포함하는 집합

예시 1 - 기계 고장

한 회사는 500개의 칩이 들어 있는 상자로 컴퓨터 칩을 판매하며, 각 칩은 만족스러운 것 또는 결함이 있는 것으로 분류할 수 있음
특정 상자에 결함이 있는 칩의 수는 확정되어 있지 않으며, 표본 공간은

0개의 결함, 1개의 결함, 2개의 결함, ..., 500개의 결함

예시 2 - 소프트웨어 오류

특정 소프트웨어의 별도의 오류 수는 표본 공간을 가진 것으로 볼 수 있음

0개의 오류, 1개의 오류, 2개의 오류, 3개의 오류, ...

예시 3 - 발전소 운영

한 관리자는 세 개의 발전소 운영을 감독하며, 어느 시점에서든 세 발전소 중 각각은 전기를 발전하고 있는 상태(1) 또는 대기 상태(0)로 분류할 수 있음

확률 게임

확률 게임은 주로 동전 던지기, 주사위 굴리기, 또는 카드 한 벌을 사용하는 것을 포함함 주사위를 굴릴 때, 흔히 사용되는 6면 주사위의 표본 공간은

두 개의 주사위가 굴려지면(또는 마찬가지로, 주사위를 두 번 굴린다면), 표본 공간은 그림 1.2에서 보여진다.

확률 변수

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확률

표본 공간이 인 실험에 대한 확률 값 집합은 일부 확률 을 포함하며 그리고 을 만족한다.

결과 가 발생할 확률은 라고 하며, 이것은 로 표기된다.

예시 3 소프트웨어 오류

소프트웨어 제품에서 오류의 수가 다음 확률을 가지고 있다고 가정

6개 이상의 오류에 대한 확률 값이 0이므로 오류는 최대 5개까지만 발생함
가장 가능성이 높은 오류 수는 2개
소프트웨어 제품에서 3개와 4개의 오류가 발생할 확률은 동일함

실제로, 확률 값은 데이터 모음과 이전의 경험을 통해 추정해야 함

예) 엔지니어는 전기 결함으로 인한 중단 확률이 0.2라는 것을 어떻게 알 수 있을까?
예) 컴퓨터 프로그래머는 오류가 없는 제품의 확률이 0.05라는 것을 어떻게 알 수 있을까?

어떤 상황에서는 모든 가능한 결과가 동일하게 가능하다고 간주되어 동일한 확률 값이 할당되어야 하는 실험이 수행됨

표본 공간에 개의 동등한 가능한 결과가 있다면, 각 확률 값은 이 됨

행운의 게임

공정한 주사위는 6개의 결과 각각이 동일한 확률을 가짐

편향된 주사위의 예는 다음과 같음

이 경우 주사위는 6을 얻을 확률이 가장 높으며, 장기 평균으로 보면 열 번 중 세 번 정도 발생함

두 개의 주사위를 던지고 36개의 결과 각각이 동일한 확률을 가지면

각 결과의 확률 값은 반드시 1/36이 됨

사건

사건은 그 사건에 포함된 결과 중 하나가 발생하면 일어난 것으로 간주됨

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사건

사건 는 표본 공간 의 부분 집합이다. 특별히 관심 있는 결과들을 모은다. 사건 의 확률인 는 사건 에 포함된 결과들의 확률을 모두 더함으로써 얻어진다.

표본 공간 는 확률값을 가진 8개의 결과로 구성되어 있으며, 다음 수식과 같음

사건의 여집합

개별 결과로 이루어진 사건들을 때때로 원소 사건 또는 단순 사건이라고 부름

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사건의 여집합

사건 는 사건 의 여집합으로, 표본 공간 중에서 사건 에 속하지 않은 모든 것으로 구성된 사건이다. 모든 경우에 이 성립한다.

예시 1 - 소프트웨어 오류

소프트웨어 제품에서 오류가 두 개 이하인 사건 를 생각
사건 A는 다음과 같이 정의됨

: 의 확률

사건 의 여집합의 확률

확률 게임

'짝수' 사건 = 주사위를 굴려 나온 수가 짝수인 경우

사건 = 두 개의 주사위의 합이 6인 경우

평균적으로 36번 중에 5번은 합이 6이 나올 것임

사건 적어도 하나의 6이 나온 경우

사건들의 교집합

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사건들의 교집합

사건 는 사건 와 의 교집합으로, 와 두 사건에 모두 속하는 결과들로 구성된다. 이 사건의 확률인 는 사건 와 가 동시에 발생할 확률이다.

예시

표본 공간 는 9개의 결과로 구성됨

예시 2

상호 배타적 사건

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상호 배타적 사건

두 사건 와 는 (공집합) 이므로 공통된 결과가 없을 때 상호 배타적이라고 말한다.

교집합에 대한 몇 가지 다른 간단한 결과

사건의 합

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사건의 합 사건 는 사건 와 의 합이며, 이는 사건 와 중 적어도 하나에 포함되는 결과들로 이루어져 있다. 이 사건의 확률인 는 사건 와 중 적어도 하나가 발생할 확률이다.

사건 내의 결과들을 세 가지 유형으로 분류할 수 있음

사건 A에는 있지만, 사건 B에는 없는 경우

사건 B에는 있지만, 사건 A에는 없는 경우

사건 A와 B 둘 다에 있는 경우

합집합에 관한 몇 가지 단순한 결과들

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만약 사건 와 가 상호 배타적이라면, 즉 이라면,

교집합과 합집합의 예시

예시 5. 텔레비전 세트 품질

한 제조회사가 각 전자 제품에 대한 최종 품질 검사를 수행하여 포장 및 발송을 진행
품질 검사에는 두 부분 존재 - 1) 화면 품질 평가, 2) 텔레비전 세트 외관 평가
이 두 평가는 완벽(P), 좋음(G), 만족(S), 불합격(F)으로 평가됩니다.
16개의 결과

사건 제품을 발송할 수 없는 경우

두 평가 중 어느 하나에서 불합격
두 부문 모두 만족하는 경우

텔레비전 세트의 약 7.4%가 품질 검사에서 불합격

사건 화면 평가가 만족 또는 불합격인 경우

사건 발송되지 않고 화면 품질이 만족 또는 불합격인 경우

사건 발송되지 않거나 화면 평가가 만족 또는 불합격으로 평가된 경우

사건 화면 평가가 완벽 또는 좋지만 발송할 수 없는 텔레비전 세트

확률 게임

공정한 주사위 하나가 던져짐
사건 A와 B를 다음과 같이 정의함

주사위를 던져서 짝수 점수를 얻는 경우

두 개의 주사위가 던져진다면, 그림 1.18은 사건 를, 그림 1.19는 사건 를 설명한다고 가정

두 주사위의 합이 6인 경우

두 주사위 중 하나라도 6이 나오는 경우

=> 와 는 상호 배타적 →
따라서,

두 개의 주사위: 빨간색과 파란색

결과는 (빨간색, 파란색)으로 표시됨
빨간 주사위에서 짝수 점수가 나오는 경우

파란 주사위에서 짝수 점수가 나오는 경우

사건: 두 주사위 모두 짝수 점수를 얻는 경우 =

사건: 적어도 하나의 주사위에서 짝수 점수를 얻는 경우 =

세 개 이상의 사건 조합

세 사건의 합집합

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세 사건 의 합집합의 확률은 세 사건 중 적어도 하나에 포함된 단순 결과의 확률 값의 합임. 또한 아래 표현식을 통해 계산될 수도 있음

상호 배타적 사건들의 합집합

💡

이라는 상호 배타적 사건들의 수열에 대하여, 사건들의 합집합의 확률은 다음과 같이 주어짐

💡

표본 공간의 분할

표본 공간의 분할은 상호 배타적 사건들 의 수열로서, 다음을 만족하는 것임

이 때, 표본 공간의 각 결과는 사건 들 중 딱 하나에만 포함됨

예제 5. 텔레비전 세트 품질

복습

품질 검사에는 두 가지 구성 요소가 있음: 1) 화면 품질 평가, 2) 텔레비전 세트 외관 평가
각 평가는 완벽(), 좋음(), 만족(), 실패()로 평가됨
사건 제품이 배송될 수 없는 경우

두 가지 평가 중 하나라도 실패하거나
두 가지 평가 모두 만족하는 경우

사건 화면이 만족하거나 실패로 평가된 경우
사건 제품이 “보통 품질”인 경우점수가 만족하거나 좋음인 경우
사건 제품이 “고품질”인 경우사건 의 합집합의 여집합 =

조건부확률

조건부 확률

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조건부 확률 사건이 일어날 조건 하에 사건이 일어날 조건부 확률은 아래와 같이 정의됨: 이는 인 경우에만 유효하며, 이것은 사건 가 발생한 경우 사건 가 발생할 확률을 측정함

일 때:

일 때 (즉, 와 의 교집합이 인 경우):

따라서,

정식으로,

즉,

조건부확률의 예시

예제 4. 전력 발전소 운영

발전소 가 유휴 상태일 확률은 임. 그러나 적어도 세 개의 발전소 중 두 개가 전기를 발전하고 있다는 사건 가 알려진 경우, 발전소가 유휴 상태일 확률은 어떻게 변하는가? (즉, )

세 개의 발전소가 있으며 각각의 값은 전기를 발전시키거나 유휴 상태일 때 1 또는 0이 될 수 있음
발전소 가 유휴 상태이며
세 개의 발전소 중 최소 두 개가 전기를 발전시키는 사건

확률 게임

공정한 주사위를 던졌을 때 6을 얻을 확률은 임. 누군가가 주사위를 던져 결과를 보여주지 않지만 짝수라고 발표하면 6이 나올 확률은 직관적으로 이 됨. 왜냐하면 세 개의 가능한 짝수 점수 중 하나가 6이기 때문임. 수학적으로 이 조건부 확률은 다음과 같이 계산됨

빨간색 주사위와 파란색 주사위를 던짐

빨간 주사위가 6을 얻는 사건
두 주사위 중 적어도 하나가 6을 얻는 사건

누군가가 두 주사위를 던지고 적어도 하나의 6이 나왔다고 발표하지만 보여주지 않을 경우, 빨간 주사위가 6을 얻었을 확률은 얼마인가?

사건 정확히 하나의 6이 얻어진 경우
이 경우, 얻어진 6이 빨간 주사위에서 나왔을 확률과 파란 주사위에서 나왔을 확률이 같을 것이라는 것이 직관적으로 명확하므로 조건부 확률 는 이어야 함

사건 교집합의 확률

사건 교집합의 확률

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사건 교집합의 확률

사건 의 교차의 확률은 다음의 표현식으로부터 계산할 수 있음

독립 사건

독립 사건

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독립 사건 두 사건 와 는 다음 조건을 만족할 때 독립 사건이라고 함:

이 세 조건 중 하나만 만족되어도 다른 두 조건이 함께 만족됨. 두 사건이 독립적이라는 것의 해석은 한 사건에 대한 정보가 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는다는 것임

독립 사건들의 교집합

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독립 사건들의 교집합 독립 사건들 의 교차 확률은 단순히 아래와 같이 주어짐

예제 7. 자동차 보증

한 회사는 네 개의 가능한 위치 중 하나에서 특정 유형의 자동차를 조립하여 판매함. 공장 I은 자동차의 20%를 공급하며, 공장 II는 24%, 공장 III은 25%, 그리고 공장 IV는 31%를 공급함
고객은 자동차가 어디에서 조립되었는지 알 수 없으므로, 구매한 자동차가 네 공장 중 어느 하나에서 왔을 확률은 각각 0.20, 0.24, 0.25, 0.31로 생각할 수 있음
각 새 자동차에는 1년간의 범퍼 투 범퍼 보증이 포함됨. 회사는 다음과 같은 데이터를 수집했음: