Ch 03. Discrete Probability Distributions

이항 분포

베르누이 확률변수

모델링하기 위해

• 동전 던지기의 결과

• 밸브가 열리거나 닫힘

• 품목이 결함이 있거나 없음

• 오직 두 가지 가능한 결과만 있는 다른 프로세스
• 결과는 0과 1로 표시됨

이항 분포의 정의

매개변수 , 결과가 1일 확률로 정의된 랜덤 변수

• 결과가 1로 표시될 확률은

• 결과가 0으로 표시될 확률은

기대값 및 분산

베르누이 시도

• 오직 두 가지 결과만 있는 실험

• 베르누이 시도의 연속 (동전 던지기 반복, 결함이 있는지 확인 등)

• 이항 랜덤 변수: 고정된 횟수의 시도 내에서 성공의 수

매개변수 과 와 함께 이항 분포

• 개의 독립적인 베르누이 시도

• 의 값: (베르누이 확률 변수의 성공 횟수)
• 인 경우, 가능한 결과:

• n회의 베르누이 시행(독립 시행)으로 구성된 실험을 고려하면, 성공의 상수 확률은 임

• 확률 변수 : 성공의 총 횟수
• 매개 변수 과 를 가진 이항 분포

• 의 확률 질량 함수
• 기대값과 분산

• 의 누적 분포 함수

• 예) 대칭 이항 분포,
• 기대값 , 대칭 함수
• 분산 Var(X)
💡
대칭 이항 분포
분포는 모든 매개변수 의 값에 대해 대칭 확률 분포임. 이 분포는 기대값 를 중심으로 대칭임

• 예) 비대칭 이항 분포
• 예상되는 이길 확률,
• 이길 확률의 분산, 0

이항 분포의 예시

• 예제 17. 우유 용기의 내용물
• 연속 확률변수에서 이산 확률변수로
• 표본 공간 :
• 확률 변수 : 저체중인 용기의 수

• 예제 24. 항공대 긴급 출격(Scrambles)
• 16대의 비행기
• 특정 비행기의 엔진이 주어진 시도에서 시작하지 않을 확률은 0.25
• 그렇다면, 성공적으로 출격한 비행기의 수는 매개변수가 𝑛 = 16 그리고 𝑝 = 0.75인 이항 분포를 가짐
• 확률 변수 : 출격한 비행기의 수

• 정확히 12대의 비행기가 성공적으로 출격하는 확률은 다음과 같음

• 적어도 14대의 비행기가 성공적으로 출격하는 확률은 다음과 같음

• 예시) 동전 던지기 게임 (공평한 동전 던지기)
• 공평한 동전이 n번 던져진다고 가정하면, 얻어진 앞면의 수, 의 분포는 매개변수 과 를 가진 이항 분포임
• 랜덤 변수 : 앞면의 수
• 의 기대값
• 의 분산
• 의 표준 편차
• 랜덤 변수 Y: 앞면의 비율, y = X/n
• Y의 기대값, E(Y) = E(X)/n
• Y의 분산, Var (Y) = Var(X)/n^2
• Y의 표준 편차, σ = √(1/(4n))
• 만약 랜덤 변수 X가 상수 성공 확률 p를 가진 𝑛개의 독립적인 베르누이 시행에서의 성공 횟수를 계산한다면, 즉 이면, 성공의 비율 는 기대값과 분산 를 가지게 됨. 비율 의 분산은 시행 횟수 이 증가함에 따라 감소하므로, 는 시행 횟수 이 증가함에 따라 성공 확률 에 점점 더 가까워지는 경향이 있음

• 매개변수를 가진 기하 분포 • 상수 성공 확률 p를 가진 독립적인 베르누이 시행에서 • 이항 분포: 고정된 시행 횟수 𝑛에서의 성공 횟수에 관심 있음 • 기하 분포: 첫 번째 성공 발생에 대한 확률 값에 관심 있음 • 확률 질량 함수 확률 값 x의 성공 • P(X=x) = (1-p)^(x-1) * p, x = 1, 2, 3, 4, ... x-1의 실패에 대한 확률 값

기하 분포와 음의 이항 분포

기하 분포의 정의

• 기하 분포의 기댓값

음이항 분포의 정의

• 예제 24: 공군 긴급 발진
비행기 엔진이 주어진 시도에 성공적으로 가동될 확률은 0.75라고 하자. 엔진을 가동하는 데 실패할 때마다, 정비사들은 다시 시도하기 전에 5분 동안 기다려야 함. 비행기 엔진을 가동하는 데 필요한 시도 횟수의 분포는?
• 성공 확률
• 세 번째 시도에 성공할 확률
• 비행기가 엔진을 가동한 첫 시도로부터 10분 이내에 출발할 확률은 최대 세 번의 시도가 필요한 확률임
• 엔진을 가동하는 데 필요한 예상 시도 횟수

• 예제 25: 전화 티켓 판매
인기 있는 이벤트의 전화 티켓 판매는 정해진 시간에 전화를 시작하는 전화 상담원들에 의해 처리됨. 운영자에게 연결되려면, 전화를 거는 사람은 이전 고객으로부터 자유로워진 상담원에게 정확한 시간에 전화를 걸어야 함. 이 확률이 0.1이라고 가정해보자. 상담원에게 연결될 때까지 사람이 걸어야 하는 전화 횟수의 분포는?
• 상담원에 연결될 확률
• 전화를 걸어 5번째 시도에 연결되는 확률
• 상담원에 연결되기 위해 필요한 예상 전화 횟수
• 15회 이상 전화를 걸어야 하는 확률

기하 분포와 음이항 분포의 예시

• 예제 12: 인사 모집 회사가 새로운 직원 3명을 고용하길 원하고, 면접을 본 각 지원자가 적합하다고 판단될 확률이 0.6이라고 가정하자. 회사가 면접을 보아야 하는 지원자의 총 수의 분포는 무엇인지?
• 성공 확률 , 음이항 분포를 따르며
• 확률 변수 : 새로운 직원 3명을 고용하기 위해 면접 볼 지원자 수
• 정확히 6명의 지원자를 면접해야 하는 확률
• 회사가 최대 6명의 지원자를 면접할 수 있는 예산이 있는 경우, 예산 내에 충분할 확률
• 면접 예상 횟수

초기하 분포

초기하 분포의 정의

• 특정 종류의 여러 항목 모음
• 개의 항목 중 개가 결함이 있다고 생각하기
• 정확히 개가 빨간색인 개의 공이 들어있는 상자를 상상하기
• 특별한 종류 중 하나일 확률,
• 확률 변수 : 복원되는 무작위로 선택된 개의 항목 중 특정 항목 수 (동일한 항목이 한 번 이상 선택될 수 있음)
• 이항 분포
• 확률 변수 : 복원되지 않는 무작위로 선택된 개의 항목 중 특정 항목 수 (동일한 항목이 두 번 선택될 수 없음)
• 이항 분포를 적용할 수 없음
• 대신, 초기하 분포를 사용할 수 있음

• 초기하 분포
• : (전제: 개 중 특정 조건을 만족하는 개) 개 중 무작위로 개를 선택했을 때, 그 중 개가 의 조건을 만족하는 경우의 분포
💡
초기하 분포
초기하 분포의 확률 질량 함수는 다음과 같음
이 때,
기댓값은
이고, 분산은
이 분포는 크기 의 모집단에서 교체 없이 크기의 무작위 표본을 추출할 때 특정 종류의 항목 수의 분포를 나타냄. 이 모집단에는 이러한 종류의 항목이 개 포함되어 있음

• 예제 2. 불량 컴퓨터 칩
• 상자 안에 500개의 컴퓨터 칩이 있고, 그 중 9개가 불량입니다. 무작위로 3개의 칩을 교체 없이 선택해봅시다.
• N = 500, r = 9, n = 3
• 가능한 샘플의 총 수,
• 정확히 하나의 불량 칩이 포함된 샘플 수,
• 항목 수 이 샘플 보다 훨씬 클 때,
• 교체 없이 샘플링은 교체와 함께 샘플링과 매우 유사합니다.
• 초기하 분포는 이항 분포로 근사할 수 있습니다.

• 예제 17. 우유 용기 내용물
• 우유는 16개의 우유 용기가 들어있는 상자에 담겨 소매점으로 배송됩니다. 6개의 부족한 용기를 포함하고 있는 특정 상자가 검사를 위해 열립니다, 그리고 5개의 용기가 무작위로 선택됩니다. 검사관이 선택한 샘플에 포함된 체중이 부족한 우유 용기의 수 분포는 무엇일까요?
• 정확히 체중이 부족한 용기 2개일 확률,
• 체중이 부족한 용기의 예상 수,

• 예제 26. 물고기 태깅 및 재포획
• 작은 호수에는 50마리의 물고기가 있습니다. 어느 날 어부가 이 물고기 중 10마리를 잡아 태그를 붙여 다시 잡히면 인식할 수 있게 합니다. 태그가 달린 물고기는 호수로 다시 놓입니다. 다음 날 어부가 나가서 물고기 8마리를 잡습니다. 이 물고기들은 하루 종일 보트에 머물다가 교체 없이 모두 호수로 돌려보냅니다. 두 번째 날 어부가 잡은 태그가 달린 물고기의 수 분포는 무엇일까요?
• 두 번째 날의 낚시는 교체 없이 물고기 자원에서 취한 8개의 샘플로 간주할 수 있습니다. 모든 물고기가 동일하게 잡힐 가능성이 있으므로, 두 번째 날 잡힌 태그가 달린 물고기의 수는 N=50, r=10, n=8인 초기하 분포를 가집니다.
• 두 번째 날에 태그가 달린 물고기 3마리가 잡힐 확률
• 두 번째 날 재포획된 태그가 달린 물고기의 예상 수
• 더 큰 호수에서는 5000마리의 물고기가 있으며 그 중 80마리가 일정 기간 동안 태그가 되었다고 가정해봅시다. 어부가 어느 날 나가서 물고기 8마리를 잡는다면, 태그가 달린 물고기의 수 분포는 인 초기하 분포가 될 것입니다. 그러나 호수의 물고기 수가 많기 때문에, 성공 확률이 인 분포로 분포를 근사하는 것이 타당합니다.
• 이러한 태깅 및 재포획 실험은 실제로 물고기 자원의 총 규모를 추정하는 데 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 100마리의 물고기에 태그가 달렸고 어부들이 잡은 물고기 중 태그가 달린 물고기가 약 10%를 차지한다면, 이는 전체 물고기 자원이 대략 1000마리임을 나타냅니다.

초기하 분포의 예시

푸아송 분포

푸아송 분포의 정의

• 특정 지정된 범위 내에서 발생하는 "이벤트" 수를 계산하는 확률 변수에 대한 내용임. 이러한 상황은 다음과 같은 경우에 수학적 모델로 사용될 수 있음
• 어떤 항목에 대한 결함 수
• 어떤 물질이 방출하는 방사성 입자 수
• 정해진 시간 동안 수신자가 받는 전화의 수 등

• 포아송 분포를 검증하는 방법은 전체 확률의 합이 1이 되는지 확인하는 것임. 이는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있음

• 포아송 분포의 확률 질량 함수에 대한 설명임. 포아송 분포는 특정 시간이나 공간에서 발생하는 이벤트의 평균 발생 빈도를 나타내는 파라미터를 사용함
• 포아송 분포는 다음과 같이 표현됨:
• 확률 질량 함수: , 여기서

• 포아송 분포의 기대값과 분산을 계산하는 방법
• 포아송 분포의 기대값:
• 기대값은 "람다"이며, 이는 단위 시간이나 단위 공간에서 평균적으로 발생하는 이벤트의 수를 나타냄
• 포아송 분포의 분산:
• 분산 역시 "람다"로, 이는 이벤트 발생의 변동성을 나타내는 척도임

푸아송 분포의 예시

• 예제 3: 소프트웨어 오류
• 소프트웨어의 오류 수가 파라미터 λ가 3인 포아송 분포를 따른다고 가정하자. 이 파라미터는 바로 오류의 예상 수가 세 개이며, 오류 수의 분산 또한 세 개라는 것을 의미함
• 확률 질량 함수
• 소프트웨어에 오류가 없는 확률,

• 예제 27: 유리판 결함
• 유리 제조 회사의 품질 검사관이 유리판을 검사하여 미세한 결함이 있는지 확인함. 유리판의 이러한 결함 수가 파라미터 λ가 0.5인 포아송 분포를 따른다고 가정해 보자. 이는 시트 당 예상되는 결함 수가 0.5밖에 되지 않음을 의미함
• 확률 질량 함수
• 시트에 결함이 전혀 없는 확률은?
• 두 개 이상의 결함이 있는 시트는 회사에서 폐기하며, 이러한 상황은 0.303의 확률로 발생함

• 예제 28: 병원 응급실 도착
• 병원 응급실은 평균적으로 주당 약 47명의 골절 환자를 받음. 특정 요일에 도착하는 골절 환자 수는 어떻게 모델링 될 수 있는지? 골절 사고는 주중 어느 날이든 동일하게 발생할 가능성이 있으므로, 하루 평균 환자 수는 47/7 = 6.71명으로 예상할 수 있음. 골절 환자 수를 모델링하기 위해 포아송 분포를 선택한다면, 분포의 기대값인 6.71의 파라미터 값을 선택하는 것이 적절함. 병원 관리자는 매일 최대 10명의 골절 환자를 편안하게 대처할 수 있는 응급실 자원을 할당하기로 결정했음. 포아송 분포를 사용하여 이러한 자원이 부족할 확률을 예측할 수 있음
• 응급실에 10명 이하의 골절 환자가 도착할 확률은?
• 결과적으로 관리자는 응급실이 연간 평균 약 29일, 약 8%의 확률로 추가 지원을 필요로 할 것으로 예상해야 함

• 예제 1. 기계 고장

• 기계 고장의 원인은 전기적 결함, 기계적 결함, 그리고 조작자의 오용으로 인한 것이며, 이 원인들은 각각 0.2, 0.5, 0.3의 확률로 발생한다고 합니다. 기계 유지 관리 담당 엔지니어는 다음 10번의 고장 원인을 예측하는 데 관심이 있습니다. 만약 X1이 전기적 이유로 인한 고장 횟수, X2가 기계적 이유로 인한 고장 횟수, X3가 조작자 오용으로 인한 고장 횟수라면, X1 + X2 + X3 = 10 입니다. 고장 원인이 서로 독립적이라고 가정할 수 있는 경우, 무작위 변수 X1, X2, X3은 다항 분포를 가집니다.

• 확률 질량 함수는 P(X1=x1, X2=x2, X3=x3) = 10! / (x1!x2!x3!) * 0.2^x1 * 0.5^x2 * 0.3^x3 입니다.

• 전기적 고장 3건, 기계적 고장 5건, 오용 고장 2건이 있을 확률은 P(X1=3, X2=5, X3=2) = 10! / (3!5!2!) * 0.2^3 * 0.5^5 * 0.3^2 = 0.057 입니다.

• 전기적 고장의 예상 횟수는 E(X1) = 10 * 0.2 = 2회, 기계적 고장의 예상 횟수는 E(X2) = 10 * 0.5 = 5회, 오용으로 인한 고장의 예상 횟수는 E(X3) = 10 * 0.3 = 3회 입니다.

• 만약 엔지니어가 전기적 이유로 고장 나는 경우가 2건 이하일 확률에 관심이 있다면, X1 ~ B(10, 0.2)이므로 P(X1 ≤ 2) = P(X1=0) + P(X1=1) + P(X1=2)를 계산할 수 있습니다. 이는 0.677이 됩니다.

다항 분포

• 다항 분포
• 각각의 독립 시험이 k개의 가능한 결과를 가질 수 있는 n번의 독립 시험을 고려하십시오. 이때 각 결과는 일정한 확률 값 로 발생하며, 이는 을 만족합니다.
• 각 결과의 발생 횟수를 세는 무작위 변수 는 다항 분포를 가짐. 그리고 그것들의 공동 확률 질량 함수는
을 만족하는 음이 아닌 정수 값임
• 각 임의 변수 의 기대치와 분산은 다음과 같음
• 무작위 변수 는 서로 독립적이지 않음

다항 분포의 정의

• 예제 1. 기계 고장
• 기계 고장의 원인은 전기적 결함, 기계적 결함, 그리고 조작자의 오용으로 인한 것이며, 이 원인들은 각각 0.2, 0.5, 0.3의 확률로 발생한다고 함. 기계 유지 관리 담당 엔지니어는 다음 10번의 고장 원인을 예측하는 데 관심이 있음. 만약 이 전기적 이유로 인한 고장 횟수, 가 기계적 이유로 인한 고장 횟수, 가 조작자 오용으로 인한 고장 횟수라면, 임. 고장 원인이 서로 독립적이라고 가정할 수 있는 경우, 무작위 변수 은 다항 분포를 가짐
• 확률 질량 함수는 임
• 전기적 고장 3건, 기계적 고장 5건, 오용 고장 2건이 있을 확률은 임
• 전기적 고장의 예상 횟수:
• 기계적 고장의 예상 횟수:
• 오용으로 인한 고장의 예상 횟수:
• 만약 엔지니어가 전기적 이유로 고장 나는 경우가 2건 이하일 확률에 관심이 있다면 이므로

다항 분포의 예시

• 특정 약물을 사용하는 환자들은 그 약물에 알레르기 반응을 보일 위험이 있음. 의사들은 환자의 반응을 과다한 알레르기, 알레르기, 약한 알레르기, 또는 알레르기 반응 없음 네 가지로 구분하며, 이들은 각각 0.12, 0.28, 0.33, 0.27의 확률 값을 가지고 있음
• 아홉 명의 환자에게 약물이 투여된다고 가정했을 때, 의사들은 어떤 유형의 알레르기가 나타날지 예측할 수 있을까? 만약 가 네 가지 반응을 보이는 환자 수라면, 한 환자의 반응이 다른 환자의 반응과 독립적이라고 가정한다면(예를 들어, 환자들이 서로 관련이 없는 경우), 무작위 변수 는 확률 질량 함수를 가진 다항 분포를 따르게 됨
• 두 환자가 과다한 알레르기를 보이고, 한 환자가 알레르기를 보이며, 네 환자가 약한 알레르기를 보이고, 두 환자가 반응이 없다면?
• 각 알레르기 반응의 예상 환자 수는?
• 과다한 알레르기 반응을 보일 것으로 예상되는 환자 수:
• 알레르기 반응을 보일 것으로 예상되는 환자 수:
• 약한 알레르기 반응을 보일 것으로 예상되는 환자 수:
• 알레르기 반응이 없을 것으로 예상되는 환자 수:

• 예제. 운의 게임
• 한 벌의 카드에서 카드 8장을 교체하며 무작위로 선택한다고 가정해보자. 네 가지 문양 각각에서 얻은 카드 수의 분포는? 추첨이 교체를 통해 이루어지기 때문에, 각 추첨에서 네 가지 문양 중 하나를 선택할 확률은 동일하므로 하트 , 클럽 , 다이아몬드 , 스페이드 의 수는 다음과 같은 확률 질량 함수를 가진 다항 분포를 따름.
• 세 장의 하트, 두 장의 클럽, 두 장의 다이아몬드, 한 장의 스페이드를 뽑을 확률은?
• 각 문양에서 카드 두 장씩을 뽑을 것으로 예상되는 카드 수는?